最优传输理论是连接几何和概率的桥梁， 它用几何的方法为概率分布的建模和衡量概 率分布之间的距离提供了强有力的工具。最 近，最优传输理论的概念和方法日益渗透进 机器学习领域，为机器学习原理的解释提供 了新的视角，为机器学习算法的改进提供了 新的指导方向。

本文介绍最优传输理论的基本概念和原 理，解释如何用最优传输理论的框架来表示 概率分布，度量概率分布间的距离，如何降 维逼近，并进一步解释这些手法在机器学习 中的应用，给出机器学习原理和特点的最优 传输理论阐释。

1.1 最优传输理论与 WGAN 模型

1. 生成对抗网络简介

训练模型生成对抗网络 (GAN， Generative Adversarial Networks)[1] 是一个“自 相矛盾”的系统，就是“以己之矛，攻己之盾”， 在矛盾中发展，使得矛更加锋利，盾更加强 韧。这里的矛被称为判别器（Descriminator）， 这里的盾被称为生成器（Generator）。如图 1~3 所示。

生成器 G 一般是将一个随机变量（例如 高斯分布，或者均匀分布），通过参数化的 概率生成模型（通常是用一个深度神经网来 进行参数化），进行概率分布的逆变换采样， 从而得到一个生成的概率分布。如图 2 所示。 判别器 D 也通常采用深度卷积神经网。

我们的目的是要找出给定的真实数据内 部的统计规律，将其概率分布表示为 Pr。为 此制作了一个随机变量生成器 G，G 能够产生 随机变量，其概率分布是 Pg，我们用 Pg 来尽 量接近 Pr。为了区分真实概率分布 Pr 和生成 概率分布 Pg，又制作了一个判别器 D，D 用 来判别一个样本是来自真实数据，还是来自 G 生成的伪造数据。为了使 GAN 中的判别器尽 可能将真实样本判为正例，将生成样本判为负 例，Goodfellow 设计了如下的损失函数（loss function）：

这里第一项不依赖于生成器 G。 此式也可用 于定义 GAN 中生成器的损失函数。

矛盾的交锋过程如下：在训练过程中， 判别器 D 和生成器 G 交替学习，最终达到纳 什均衡（零和游戏）。在均衡状态，判别器 无法区分真实样本和生成样本，此时的生成 概率分布 Pg，可以被视作是真实概率分布 Pr 的一个良好逼近。如图 1~3 所示。

GAN 具有非常重要的优越性：当真实 数据的概率分布 Pr 不可计算时，依赖于数 据内在解释的传统生成模型无法被直接应 用。但是 GAN 依然可以被使用，这是因 为 GAN 引入了内部对抗的训练机制，能 够逼近难以计算的概率分布。Yann LeCun 一直积极倡导 GAN，因为 GAN 为无监督 学习提供了一个强有力的算法框架，而无 监督学习被广泛认为是通往人工智能的重 要一环。

原始 GAN 形式具有致命缺陷：判别器 越好，生成器的梯度消失越严重。我们固定 生成器 G 来优化判别器 D。考察任意一个样 本 x，其对判别器损失函数的贡献是

在这种情况下（判别器最优），如果 Pr 和 Pg 的支撑集合 (support) 交集为零测度，则生成 器的损失函数恒为 0，梯度消失。

本质上，JS 散度给出了概率分布 Pr 、 Pg 之间的差异程度，亦即概率分布间的度 量。我们可以用其他的度量来替换 JS 散度。Wasserstein 距离就是一个好的选择，因为 即便 Pr 、Pg 的交集为零测度，它们之间的 Wasserstein 距离依然非零。这样我们就得到 了 Wasserstein GAN 的模式 [2-3]。Wasserstein 距离的好处在于，即便 Pr、 Pg 两个分布之间 没有重叠，Wasserstein 距离依然能够度量它们的远近。

为此，我们引入最优传输的几何理论 (Optimal Mass Transportation)，这个理论可视 化了 W-GAN 的关键概念，例如概率分布、 概率生成模型（生成器）、Wasserstein 距离。 更为重要的，这套理论中所有的概念、原理 都是透明的。例如，对于概率生成模型，理 论上我们可以用最优传输的框架取代深度神 经网络来构造生成器，从而使得机器学习的 黑箱变得透明。

2. 最优传输理论梗概

蒙 日-安 培 方 程 解 的 存 在 性、 唯 一 性 等价于经典的凸几何中的亚历山大定理 （Alexandrov Theorem）。

3. W-GAN 中关键概念可视化

W-GAN 模型中，关键的概念包括概率分 布（概率测度）、概率测度间的最优传输映 射（生成器）、概率测度间的Wasserstein距离。 下面我们详细解释每个概念的含义、所对应 的构造方法和相应的几何意义。

概率分布 GAN 模型中有两个至关重要 的概率分布（probability measure），一个 是真实数据的概率分布 Pr；一个是生成数 据的概率分布 Pg。另外，生成器的输入随 机变量可以是任意标准概率分布，例如高 斯分布、均匀分布等。

概率测度可以看成是一种推广的面积（或 者体积）。我们可以用几何变换随意构造一 个概率测度。如图 5 所示，我们用三维扫描 仪获取一张人脸曲面，那么人脸曲面上的面 积就是一个概率测度。我们缩放变换人脸曲 面，使得总面积等于 π；然后，用保角变换 将人脸曲面映射到平面圆盘。如图 5 所示， 保角变换将人脸曲面上的无穷小圆映到平面 上的无穷小圆，但是，小圆的面积发生了变化。 每对小圆的面积比率定义了平面圆盘上的概 率密度函数。

4. 小结

在 W-GAN 模型中，通常生成器和判别 器是用深度神经网络来实现的。根据最优传 输理论，可以用 Briener 势函数来代替深度 神经网络这个黑箱，从而使得整个系统变得透明。在另一层面上，深度神经网络本质上 是在训练概率分布间的传输映射，因此有可 能隐含地在学习最优传输映射，或者等价地 Brenier 势能函数。对这些问题的深入了解， 将有助于我们看穿黑箱。和图6中的例子类似， 图 12 显示了用最优传输映射计算的曲面保面 积参数化。最优传输理论在任意维空间都成立， 图 13 显示了一个三维体的最优传输例子。