1486. 数组异或操作：

给你两个整数，n 和 start 。

数组 nums 定义为：nums[i] = start + 2 * i（下标从 0 开始）且 n == nums.length 。

请返回 nums 中所有元素按位异或（XOR）后得到的结果。

样例 1

输入：
  
  n = 5, start = 0
  
输出：
  
  8
  
解释：
  
  数组 nums 为 [0, 2, 4, 6, 8]，其中 (0 ^ 2 ^ 4 ^ 6 ^ 8) = 8 。
  "^" 为按位异或 XOR 运算符。

样例 2

输入：
  
  n = 4, start = 3
  
 输出：
  
  8
  
解释：
  
  数组 nums 为 [3, 5, 7, 9]，其中 (3 ^ 5 ^ 7 ^ 9) = 8.

样例 3

输入：

  n = 1, start = 7

输出：
  
  7

样例 4

输入：
  
  n = 10, start = 5

输出：

  2

提示

• 1 <= n <= 1000
• 0 <= start <= 1000
• n == nums.length

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分析

我们可以直接按照题意，暴力循环，那么时间复杂度就是O(n)，是否有时间复杂度为O(1)的算法呢？

记x为变量，^是异或操作，则异或运算满足以下性质：

1. x ^ x = 0；
2. x ^ 0 = x；
3. x ^ y = y ^ x（交换律）；
4. (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z)（结合律）；
5. x ^ y ^ y = x（自反性）；
6. 如果x是4的倍数，x ^ (x + 1) ^ (x + 2) ^ (x + 3) = 0；

• 本题要计算的 结果公式 为：start ^ (start + 2) ^ (start + 4) ^ ⋯ ^(start + 2 * (n − 1))。
• 如果有一个函数 sumXor(x) 可以计算 0 ^ 1 ^ 2 ^ ⋯ ^ x 。
• 对于某变量x和n，计算sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)的结果，根据上面的 性质1 可以将 0 ^ 1 ^ 2 ^ ... ^ (s - 1) 的值抵消为0，就变成 0 ^ s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1) ，根据 性质2 可知与0做异或操作还是自己，最后结果就变成 s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1) ，这个结果很接近我们要计算的内容。
• 如果我们令 s = start / 2 ，把 结果公式 转换成 (s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1)) * 2，这样并不成立，因为在做除以2的操作时，最低位丢失了，但是我们可以单独处理最低位。
• 观察 结果公式 可知 (start + 2)，(start + 4) ，... ，(start + 2 * (n − 1)) 的奇偶性质相同，而且和start一致，也就是最低位要么都是0，要么都是1，只有基数个1做异或操作时才会是1。也就是只有start是奇数并且n是奇数的时候，最终结果的最低位 e 才会是1。
• 这时 结果公式 可以转化为： ((sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)) * 2) | e 。

只要我们可以实现函数sumXor(x)，那么题目计算就可以做到O(1)的时间复杂度，根据 性质6 和 性质2 我们只需要考虑x除以4的余数，也就是最低2位，可以得到如下推导：

x % 4 = 0 的二进制位：xx...x00
x % 4 = 1 的二进制位：xx...x01
x % 4 = 2 的二进制位：xx...x10
x % 4 = 3 的二进制位：xx...x11

• x % 4 = 0，sumXor(x) = x；
• x % 4 = 1，sumXor(x) = (x - 1) ^ x，简化可得 sumXor(x) = 1；
• x % 4 = 2，sumXor(x) = (x - 2) ^ (x - 1) ^ x，简化可得 sumXor(x) = x | 1；
• x % 4 = 3，sumXor(x) = 0；
• x % 4 等同于 x & 3 的操作，而且理论上 & 操作要比 % 操作更快；

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题解

java

class Solution {
    public int xorOperation(int n, int start) {
        int s = start >> 1, e = n & start & 1;
        int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
        return ret << 1 | e;
    }

    public int sumXor(int x) {
        switch (x & 3) {
            case 0:
                return x;
            case 1:
                return 1;
            case 2:
                return x | 1;
            default:
                // x & 3 == 3
                return 0;
        }
    }
}

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c

int xorOperation(int n, int start) {
    int s = start >> 1, e = n & start & 1;
    int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
    return ret << 1 | e;
}

int sumXor(int x) {
    switch (x & 3) {
        case 0:
            return x;
        case 1:
            return 1;
        case 2:
            return x | 1;
        default:
            // x & 3 == 3
            return 0;
    }
}

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c++

class Solution {
public:
    int xorOperation(int n, int start) {
        int s = start >> 1, e = n & start & 1;
        int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
        return ret << 1 | e;
    }

    int sumXor(int x) {
        switch (x & 3) {
            case 0:
                return x;
            case 1:
                return 1;
            case 2:
                return x | 1;
            default:
                // x & 3 == 3
                return 0;
        }
    }
};

---

python

class Solution:
    def xorOperation(self, n: int, start: int) -> int:
        def sumXor(x):
            if x % 4 == 0:
                return x
            if x % 4 == 1:
                return 1
            if x % 4 == 2:
                return x | 1
            return 0
        s = start >> 1
        e = n & start & 1
        ans = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)
        return ans << 1 | e

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go

func xorOperation(n, start int) (ans int) {
    s, e := start>>1, n&start&1
    ret := sumXor(s-1) ^ sumXor(s+n-1)
    return ret<<1 | e
}

func sumXor(x int) int {
    switch x & 3 {
        case 0:
            return x
        case 1:
            return 1
        case 2:
            return x | 1
        default:
            return 0
    }
}

---

rust

impl Solution { 
  pub fn xor_operation(n: i32, start: i32) -> i32 {
    let s = start >> 1;
    let e = n & start & 1;
    let ret = Solution::sum_xor(s - 1) ^ Solution::sum_xor(s + n - 1);
    return ret << 1 | e
  }

  fn sum_xor(x: i32) -> i32 {
    match x & 3 {
      0 => x,
      1 => 1,
      2 => x | 1,
      _ => 0
    }
  }
}

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原题传送门

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