主成分分析法是一个非监督的机器学习算法，主要用于数据的降维。通过降维，可以发现更便于人类理解的特征。

求解目标

主成分分析的步骤：

1. 对样本进行demean处理（使所有样本的均值为0）

2. 取一个轴的方向 w = （w1，w2...，wn），使我们的样本，映射到w之后，使下式最大

   
   
   

   均方差

由于均值为0，则只需要使下式最大

映射的过程可以如下示意

w为单位向量，则有

则最终目标为求取一个w，使得下式最大

上式中为向量相乘，假设数据有n个维度，展开来是这个样子

那么，这就变成了一个目标函数的最优化问题，可以使用梯度上升法解决

这个过程看起来跟线性回归很像，其实是不同的，需要注意

想想其中的区别

梯度上升

梯度上升的过程与梯度下降是类似地，需要先求导

像前面一样，可以化为矩阵运算的形式。设X为这样的矩阵

则求导可以写成这样的形式。这里就不推导了

整理一下就是这个样子

求取n个主成分

上面的操作中求取w的是第一个主成分，称为第一主成分。如果要求取第二主成分，则需要将数据在第一个主成分上的分量去掉，得到的数据再求取主成分，就得到了第二主成分。

比如说有这么一个数据集

找到第一主成分的方向w1。将数据在第一主成分上的分量去掉，得到的数据如下。再求取一次主成分，就得到了第二主成分的方向。

假设我们找到了k个主成分的方向，如果想将数据从n维映射到k维（n>k），则可以如下进行。令Wk为计算出的k个主成分的方向。

则可以进行矩阵运算进行降维。X有m个样本n个方向，映射后有m个样本k个方向

同样，可以将映射到低维的数据重映射到高维，但是会损失一些信息，结果跟原来是不一样的

编程实现

"""
Created by 杨帮杰 on 11/4/2018
Right to use this code in any way you want without
warranty, support or any guarantee of it working
E-mail: yangbangjie1998@qq.com
Association: SCAU 华南农业大学
"""
import numpy as np

class PCA:

    def __init__(self, n_components):
        """初始化PCA"""
        assert n_components >= 1, "n_components must be valid"
        self.n_components = n_components
        self.components_ = None

    def fit(self, X, eta=0.01, n_iters=1e4):
        """获得数据集的前n个主成分"""
        assert self.n_components <= X.shape[1], \
            "n_components must not be greater than the feature number of X"

        def demean(X):
            return X - np.mean(X, axis=0)

        def f(w, X):
            return np.sum((X.dot(w) ** 2)) / len(X)

        def direction(w):
            return w / np.linalg.norm(w)

        def first_components(X, initial_w, eta=0.01, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
            w = direction(initial_w)
            cur_iter = 0

            while cur_iter < n_iters:
                gradient = df(w, X)
                last_w = w
                w = w + eta*gradient
                w = direction(w)
                if(abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):
                    break
                cur_iter += 1

            return w

        X_pca = demean(X)
        self.components_ = np.empty(shape=(self.n_components, X.shape[1]))
        for i in range(self.n_components):
            initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])
            w = first_components(X_pca, initial_w, eta, n_iters)
            self.components_[i,:] = w
            X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1,1) * w

        return self

    def transform(self, X):
        """将给定的X，映射到各个主成分分量中"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[1]

        return X.dot(self.components_.T)

    def inverse_transform(self, X):
        """将给定的X，反向映射回原来的特征空间"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[0]

        return X.dot(self.components_)

    def __repr__(self):
        return "PCA(n_components = %d" % self.n_components