(级数的广义求和问题). 设有数项级数 $$\bee\label{1} a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \eee$$ 及 $\sed{S_n}$ 是其部分和序列, 给定无穷矩阵 $$\bee\label{2} \sex{\ba{ccccc} \alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1k}&\cdots\\ \alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2k}&\cdots\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\alpha_{n2}&\cdots&\alpha_{nk}&\cdots\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \ea}, \eee$$ 设 $\dps{\sigma_n=\sum_{k=1}^\infty\alpha_{nk}S_k\ (n=1,2,\cdots)}$ 且假定其右边的所有级数都收敛, 如果 $n\to\infty$ 时 $\sed{\sigma_n}$ 有极限, 称级数 \eqref{1} 关于矩阵 \eqref{2} 可广义求和, 并且称 $\dps{\sigma=\lim_{n\to\infty}\sigma_n}$ 为级数 \eqref{1} 的广义和. 证明由矩阵 \eqref{2} 给出的广义求和法, 对于每一个按照通常意义下收敛的级数 \eqref{1} 也按由矩阵 \eqref{2} 决定的广义求和法可求和, 并且广义和等于通常意义下的和, 当且仅当, 下列三个条件成立:

(1)       $\dps{\lim_{n\to\infty}\alpha_{nk}=0\ (k=1,2,\cdots)}$;    

(2)       $\dps{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}=1}$;

(3)       $\dps{\sum_{k=1}^\infty |\alpha_{nk}|\leq M\ (n=1,2,\cdots)}$.    

证明:  必要性. 取数项级数 $$\bex \underbrace{0+\cdots+0+1}_{k\mbox{ 个}}-1+0+\cdots, \eex$$ 则 $$\bex S_j=\left\{\ba{ll} 1,&j=k,\\ 0,&j\neq k. \ea\right. \eex$$ 而 $$\bex \sigma_n=\sum_{j=1}^\infty \alpha_{nj}S_j     =\alpha_{nk}, \eex$$ $$\bex \lim_{n\to\infty}\alpha_{nk}=\lim_{n\to\infty}\sigma_n =\lim_{n\to\infty}S_n=0. \eex$$ 又取数项级数 $$\bex 1+0+\cdots+0+\cdots, \eex$$ 则 $$\bex S_n=1\ (n\geq 1). \eex$$ 而 $$\bex \sigma_n=\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}S_k=\sum_{k=1}^\infty\alpha_{nk}, \eex$$ $$\bex \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk} =\lim_{n\to\infty} \sigma_n=\lim_{n\to\infty}S_n=1. \eex$$ 再者, 对 $n\geq 1$, $$\bex \alpha_n=\sex{\alpha_{n1},\alpha_{n2},\cdots,\alpha_{nk},\cdots} \eex$$ 通过 $$\bex \sigma_n=\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}S_k \eex$$ 定义了 $c$ (所有收敛数列构成的 $\ell^\infty$ 的闭线性子空间) 上的线性泛函, 而 $\alpha_n\in \ell^1$\ ($c^*=\ell^1$). 又由 $$\bex \lim_{n\to\infty}\sigma_n=\lim_{n\to\infty}S_n \eex$$ 知对 $c$ 中任一 $\sed{S_n}$,  由 $\sed{\alpha_n}$ 定义的线性泛函 $\sed{\sigma_n}$ 都有界. 据共鸣定理, $\sed{\alpha_n}\subset\ell^1$ 一致有界; 即存在常数 $M>0$, 使得 $$\bex \sen{\alpha_n}_{\ell^1} =\sum_{k=1}^\infty |\alpha_{nk}| \leq M,\quad\sex{\forall\ n=1,2,\cdots}. \eex$$

充分性. 对收敛的数项级数 \eqref{1} 有 $\dps{\lim_{n\to\infty}S_n=S}$. 而 $\sed{S_n}$ 有界; 即 $$\bex \exists\ C>0,\st |S_n|\leq C\ (n\geq 1). \eex$$ 先证 $\dps{\sigma_n=\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}S_k}$ 中右边的级数收敛. 由条件 (3) 知正项级数 $\dps{\sum_{k=1}^\infty |\alpha_{nk}|}$ 有上界, 而收敛. 据 Cauchy 收敛原理, $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ K,\ \st K_2>K_2>K\ra \sum_{k=K_1}^{K_2} |\alpha_{nk}|<\frac{\ve}{C}. \eex$$ 由此, 当 $K_2>K_2>K$ 时, $$\bex \sev{\sum_{k=K_1}^{K_2}\alpha_{nk}S_k}\leq \sum_{k=K_1}^{K_2}\sev{\alpha_{nk}}\cdot\sev{S_k} \leq C\sum_{k=K_1}^{K_2} |\alpha_{nk}| <C\cdot \frac{\ve}{C}=\ve. \eex$$ 再据 Cauchy 收敛原理, 我们得到结论: $\dps{\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}S_k}$ 收敛.  再证 $\sed{\sigma_n}$ 的极限存在, 且等于 $S$. 写下 $$\bex \sigma_n=\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}S_k =\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}(S_k-S)     +S\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}. \eex$$ 由条件 (2), 我们仅须验证 $$\bex \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}(S_k-S)=0. \eex$$ 事实上, 由条件 (3) 及 Cauchy 收敛原理, 对任意固定的 $\ve>0$, 存在 $K$, 使得 $$\bex \sum_{k=K+1}^\infty|\alpha_{nk}|<\frac{\ve}{4C}. \eex$$ 对该 $K$, 由条件 (1), $$\bex \exists\ N=N(\ve,K),\st n\geq N\ra \sev{\alpha_{nk}}<\frac{\ve}{4CK}\ (k=1,2,\cdots,K). \eex$$ 这样, 当 $n\geq N$ 时, $$\beex \bea \sev{\sum_{k=1}^\infty \alpha_{nk}(S_k-S)} &\leq \sum_{k=1}^K \sev{\alpha_{nk}}\cdot |S_k-S| +\sum_{k=K+1}^\infty     |\alpha_{nk}|\cdot |S_k-S|\\ &<\frac{\ve}{4CK}\sum_{k=1}^K|S_k-S| +2C \sum_{k=K+1}^\infty |\alpha_{nk}|\\ &<\ve. \eea \eeex$$