1 ($9'\times 5=45'$) 求解下列 ODE:

(1)$\dps{\frac{d y}{d x}=\frac{2x-y+1}{x-2y+1}}$;

(2)$\dps{(y^2+2xy)\rd x-x^2\rd y=0}$;

(3)$\dps{x^2+\sex{y'}^2=4}$;

(4)$\dps{x''+4x=t\sin 2t}$;

(5)$\dps{(\beta x+\alpha y)\rd x+(\beta y-\alpha x)\rd y=0}$, 其中 $\alpha,\beta$ 为常数且 $\beta\neq 0$.

3 ($11'$) 求一曲线, 使其上任一点的切线斜率等于该切线的横截距(设切线斜率不为零).

4 ($11'$) 求一阶 ODE $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}+ay=f(x) \eex$$ 的以 $2\pi$ 为周期的解, 其中 $a>0$ 为常数, $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数.

5 ($10'$) 求满足下列积分方程的的函数 $y(x)$: $$\bex y(x)=1+x^2+2\int_0^x y(t)\rd t. \eex$$

6 ($12'$) 考虑初值问题 $$\bex \left\{\ba{ll} \frac{\rd y}{\rd x}=x^2-y^2,&\sev{x+1}\leq 1,\ \sev{y}\leq 1\\ y(-1)=0 \ea\right. \eex$$ 试求解的存在区间, 并给出第二次近似解, 及解在存在区间上的误差估计.

7 ($11'$) 考虑二阶线性 ODE $$\bex \frac{\rd^2y}{\rd x^2}+p(x)\frac{\rd y}{\rd x}+q(x)y=f(x), \eex$$ 其中 $p(x),q(x),f(x)$ 为 $(a,b)$ 的连续可微函数. 问当 $p(x),q(x)$ 满足什么条件时, 方程可经过适当的变换 $y=\varphi(x)z$ 化为不含一阶导数项的常系数线性 ODE? 并求解 $$\bex 4y''+4xy'+x^2y=0. \eex$$