设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 试证:

(1). $F'(x)\geq 2$;

(2). $F(x)=0$ 在 $[a,b]$ 中有且仅有一个实根. (华中师范大学)

证明:

(1). $$\bex F'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}\geq 2\sqrt{f(x)\cdot \frac{1}{f(x)}}=2. \eex$$

(2). 由 $$\bex F(a)=\int_b^a \frac{1}{f(t)}\rd t<0,\quad F(b)=\int_a^b f(t)\rd t>0 \eex$$ 及连续函数的介值定理即知 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有一个实根. 又由 (1), $F(x)$ 仅有一个实根.