2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空间: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 设 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty<1. \eex$$ 证明: $$\bex \dim \im A=\dim \im B. \eex$$

证明: 用反证法. 不妨设 $\dim \im A<\dim \im B$, 则 $$\beex \bea n&=\dim \im A+\dim \ker A\\ &<\dim \im B+\dim \ker A\\ &=\dim (\im B+\ker A)+\dim (\im B\cap \ker A)\\ &\leq n+\dim (\im B\cap \ker A). \eea \eeex$$ 如此, $$\bex \dim (\im B\cap \ker A)>0, \eex$$ $$\bex \exists\ 0\neq y\in \bbC^n,\st y=Bx,\quad Ay=0. \eex$$ 而 $$\bex (A-B)y=-By =-B(Bx) =-B^2x =-Bx =-y. \eex$$ 这说明 $-1$ 为 $A-B$ 的一个特征值, $$\bex \sen{A-B}_\infty=\max_i|\lm_i(A-B)|=1. \eex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.