10. 设 $A,B\in M_n$ 并且 $AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$$

证明: (1). 先证明 $$\bex x\prec y\ra |x|\prec_w|y|. \eex$$ 事实上, 由 $x\prec y$ 知 $$\beex \bea x&=Ay\quad\sex{A:\mbox{ 双随机矩阵}}\\ &=\sum \al_kP^ky\quad\sex{\al_k\geq 0, \sum \al_k=1,\ P^k\in \Pi_n,\mbox{ 由 Birkhoff 定理}}\\ &=\sum_{\sigma\in S_n} \al_\sigma y_\sigma, \eea \eeex$$ 而 $$\bex |x| \leq \sum_{\sigma \in S_n} \al_\sigma |y_\sigma| =\sum_{\sigma \in S_n} \al_\sigma Q^\sigma |y|\prec |y|\quad\sex{Q^\sigma\in \Pi_n}. \eex$$ 故定理 3.9 (ii), $$\bex |x|\prec_w|y|. \eex$$ (2). 往证题目. 由 Fan 支配定理, 仅须验证 $$\bex s(AB)\prec s(\Re(BA)). \eex$$ 事实上, $$\beex \bea s(AB)&=|\lm(AB)|\quad\sex{AB:\mbox{ Hermite 阵},\ \lm(AB)\mbox{ 为实向量}}\\ &=|\lm(BA)|\\ &\prec_w |\lm(\Re (BA))|\\ &\quad\sex{ \lm(BA)=\Re \lm(BA) \prec \lm (\Re(BA)),\mbox{ 第三章第 11 题; 再据 }(1) }\\ &\prec_w s(\Re(BA))\quad\sex{\mbox{推论 4.11}}. \eea \eeex$$