设 $\varphi(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续周期函数, 周期为 $1$, 且 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且有连续的一阶导数, $$\bex a_n=\int_0^1 f(x)\varphi(nx)\rd x,\quad n=1,2,\cdots. \eex$$ 证明: 级数 $\dps{\vsm{n}a_n^2}$ 收敛. (华东师范大学)

证明: 设 $\dps{\varPhi(x)=\int_0^x \varphi(t)\rd t}$, 则 $\varPhi(0)=\varPhi(1)=0$, 而 $$\beex \bea a_n&=\int_0^1 f(x)\varPhi'(nx)\rd x\\ &=\frac{1}{n}\int_0^1 f(x)\psi'(x)\rd x\quad\sex{\psi(x)=\varPhi(nx)\ra \psi'(x)=\varPhi'(nx)n}\\ &=-\frac{1}{n} \int_0^1 f'(x)\psi(x)\rd x\\ &=-\frac{1}{n}\int_)0^1 f'(x)\varPhi(nx)\rd x,\\ a_n^2&\leq \frac{1}{n^2}\cdot \max_{[0,1]}|f'|\cdot \sez{\int_0^1 \varPhi(nx)\rd x}^2\\ &\leq \frac{1}{n^2}\cdot \max_{[0,1]}|f'|\cdot \sez{\int_0^1 |\varphi(t)|\rd t}^2\\ &\quad\sex{ |\varPhi(nx)|=\sev{\int_0^{nx}\varphi(t)\rd t} =\sev{\int_{[nx]}^{nx}\varphi(t)\rd t} \leq \int_{[nx]}^{nx}\sev{\varphi(t)}\rd t }. \eea \eeex$$ 于是有结论成立.