设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, $f(a)=0$. 试证: $$\bex M^2\leq (b-a)\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 其中 $\dps{M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|}$.

证明: $$\beex \bea M^2&=|f(\xi)|^2\quad\sex{\xi\in [a,b]}\\ &=\sez{\int_a^\xi f'(x)\rd x}^2\\ &\leq \int_a^\xi 1^2\rd x\cdot \int_a^\xi f'^2(x)\rd x\\ &\leq (b-a)\int_a^b f'^2(x)\rd x. \eea \eeex$$